複素数の計算

複素数の計算

■問題

次の複素数の計算をせよ.

( 1+ 3 i ) 7

■答

64 1+ 3 i

■解説

1+ 3 i 7 = 1+ 3 i 2 2 1+ 3 i 3

= 1+2 3 i+3 i 2 2 1+3 3 i+33 i 2 +3 3 i 3

(3乗の公式を参照)

= 1+2 3 i3 2 1+3 3 i93 3 i

= 2+2 3 i 2 8

= 2 12 3 i 2 8

=4 8 1 3 i 2

=32 12 3 i+3 i 2

=32 12 3 i3

=32 22 3 i

=64 1+ 3 i

■別解

1+ 3 i の極形式はこの問題より

1+ 3 i = 2( cos π 3 +isin π 3 )

となる.

ド・モアブルの定理を用いると

( 1+ 3 i ) 7 = 2 cos π 3 +isin π 3 7

= 2 7 cos 7π 3 +isin 7π 3

=128 cos 2π+ π 3 +isin 2π+ π 3

=128 cos π 3 +isin π 3

=128 1 2 + 3 2 i

=64 1+ 3 i

 

 

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最終更新日: 2023年2月25日