次の複素数の計算をせよ.
( 1+ 3 i ) 7
64 1+ 3 i
1+ 3 i 7 = 1+ 3 i 2 2 1+ 3 i 3
= 1+2 3 i+3 i 2 2 1+3 3 i+3⋅3 i 2 +3 3 i 3
(3乗の公式を参照)
= 1+2 3 i−3 2 1+3 3 i−9−3 3 i
= −2+2 3 i 2 −8
= −2 1−2 3 i 2 −8
=4 −8 1− 3 i 2
=−32 1−2 3 i+3 i 2
=−32 1−2 3 i−3
=−32 −2−2 3 i
=64 1+ 3 i
1+ 3 i の極形式はこの問題より
1+ 3 i = 2( cos π 3 +isin π 3 )
となる.
ド・モアブルの定理を用いると
( 1+ 3 i ) 7 = 2 cos π 3 +isin π 3 7
= 2 7 cos 7π 3 +isin 7π 3
=128 cos 2π+ π 3 +isin 2π+ π 3
=128 cos π 3 +isin π 3
=128 1 2 + 3 2 i
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最終更新日: 2023年2月25日