複素数の線対称移動

■問題

$\alpha =1+2i$ ， $\beta =4+3i$ とする． 複素平面において，点 $\alpha$ と点 ${\displaystyle \beta }$ の2点を通る直線の方程式の一般形（ ${\displaystyle \overline{\gamma }z+\gamma \overline{z}+c=0}$ ， $\gamma$ は複素数， $c$ は実数）を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(1+3i\right)z+\left(1-3i\right)\overline{z}+10=0}$

■ヒント

直線の方程式

■解説

媒介変数を用いた直線の方程式は

$z=\alpha +t\left(\beta -\alpha \right)$   （ $t$ は媒介変数で実数）

${\displaystyle z=1+2i+t\left\{\left(4+3i\right)-\left(1+2i\right)\right\}}$

${\displaystyle z=1+2i+t\left(3+i\right)}$   ･･････(1)

(1)より

${\displaystyle t=\frac{z-1-2i}{3+i}}$   ･･････(2)

(2)の両辺の共役な複素数を取ると

${\displaystyle \overline{t}=\overline{\left(\frac{z-1-2i}{3+i}\right)}}$

${\displaystyle t=\frac{\overline{\left(z-1-2i\right)}}{\overline{\left(3+i\right)}}}$

${\displaystyle t=\frac{\overline{z}-1+2i}{3-i}}$   ･･････(3)

となる．(2)，(3)より

${\displaystyle \frac{z-1-2i}{3+i}=\frac{\overline{z}-1+2i}{3-i}}$   ･･････(4)

の関係が得られる．(4)を以下のように変形する．

${\displaystyle \left(3-i\right)\left(z-1-2i\right)}$ ${\displaystyle =\left(3+i\right)\left(\overline{z}-1+2i\right)}$

${\displaystyle 3z-3-6i-zi+i-2}$ ${\displaystyle =3\overline{z}-3+6i+\overline{z}i-i-2}$

${\displaystyle 3z-6i-zi+i}$ ${\displaystyle =3\overline{z}+6i+\overline{z}i-i}$

${\displaystyle \left(3-i\right)z-5i}$ ${\displaystyle =\left(3+i\right)\overline{z}+5i}$

${\displaystyle \left(3-i\right)z-\left(3+i\right)\overline{z}-10i=0}$

定数項が実数になるように，両辺に $i$ を掛ける．

${\displaystyle i\left(3-i\right)z-i\left(3+i\right)\overline{z}-10i^2=0}$

${\displaystyle \left(1+3i\right)z+\left(1-3i\right)\overline{z}+10=0}$  ･･････(5)

一般形の直線の方程式が得られた．

●別解

$z=x+yi$   ･･････(6)

とおくと

$\overline{z}=x-yi$   ･･････(7)

となる．

座標平面で考えると，点 $\left(1,2\right)$ と点 $\left(4,4\right)$ を通る直線に対応する．この直線の方程式の一般形は

${\displaystyle y-2=\frac{3-2}{4-1}\left(x-1\right)}$

${\displaystyle y-2=\frac{1}{3}\left(x-1\right)}$

${\displaystyle 3\left(y-2\right)=x-1}$

${\displaystyle -x+3y-5=0}$   ･･････(8)

となる．(6)，(7)より

${\displaystyle x=\frac{z+\overline{z}}{2}}$   ･･････(9)

${\displaystyle y=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$   ･･････(10)

(8)に(9)，(10)を代入して，式を以下のように変形する．

${\displaystyle -\frac{z+\overline{z}}{2}+3\frac{z-\overline{z}}{2i}-5=0}$

${\displaystyle -\left(z+\overline{z}\right)+3\frac{z-\overline{z}}{i}-10=0}$

${\displaystyle -\left(z+\overline{z}\right)+3\left(z-\overline{z}\right)\left(-i\right)-10=0}$

${\displaystyle -\left(1+3i\right)z-\left(1-3i\right)\overline{z}-10=0}$

${\displaystyle \left(1+3i\right)z+\left(1-3i\right)\overline{z}+10=0}$   ･･････(11)

(11)は(5)と一致した．

 

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最終更新日：2025年12月9日