複素数の計算

■問題

この問題の解を利用して， ${(1 - i)}^{12}$ を計算せよ．

$- 64$

$1 - i$ の極形式はこの問題より

$1 - i$ $= \sqrt{2} {\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4})}$

となる．

${(1 - i)}^{12}$ $= {\sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))}^{12}$

$= {(\sqrt{2})}^{12} (\cos (- \frac{π}{4} \times 12) + i \sin (- \frac{π}{4} \times 12))$

$= 64 {\cos (- 3 π) + i \sin (- 3 π)}$

$= 64 (- 1 + i \times 0) = 64 (- 1 + 0)$

$= - 64$

${(1 - i)}^{12} = {\{{(1 - i)}^{6}\}}^{2}$

$= {[{\{{(1 - i)}^{3}\}}^{2}]}^{2}$

$= {[{\{{(1 - i)}^{2} (1 - i)\}}^{2}]}^{2}$

$= {[{\{(1 - 2 i + i^{2}) (1 - i)\}}^{2}]}^{2}$

$= {[{\{(1 - 2 i - 1) (1 - i)\}}^{2}]}^{2}$

$= {[{(- 2 i)}^{2} {(1 - i)}^{2}]}^{2}$

$= {[- 4 (- 2 i)]}^{2}$

$= {(- 4)}^{2} {(- 2 i)}^{2}$

$= 16 (- 4)$

$= - 64$

最終更新日： 2026年9月2日