図形の変換（複素平面）

■問題

$ω = 2 z i + 3$ とする．複素平面において，点 $z$ が直線 $(1 - i) z - (1 + i) \bar{z} - 2 i = 0$ 上を動くとき，点 $ω$ はどのような図形を描くか．

■答

点 $ω$ は，直線の方程式

$(1 - i) ω + (1 + i) \bar{ω} - 2 = 0$

で表わされる直線を描く．具体的に述べると

点 $1$ と点 $3 - 2 i$ を通る直線

を描く．

■ヒント

直線の方程式，複素数の積，複素数の和

■解説

$ω = 2 z i + 3$ より

$z = \frac{ω - 3}{2 i}$ ･･････(1)

$\bar{z} = \frac{\bar{ω} - 3}{- 2 i}$ ･･････(2)

が得られる．

(1)，(2)を直線の方程式に代入し，以下のように式変形をする．

$(1 - i) \frac{ω - 3}{2 i} - (1 + i) \frac{\bar{ω} - 3}{- 2 i} - 2 i = 0$

$(1 - i) (ω - 3) + (1 + i) (\bar{ω} - 3) + 4 = 0$

$ω - 3 - ω i + 3 i + \bar{ω} - 3 + \bar{ω} i - 3 i + 4 = 0$

$(1 - i) ω + (1 + i) \bar{ω} - 2 = 0$ ･･････(3)

(3)は直線の方程式である．よって，点 $ω$ は(3)で与えられる直線を描く

さらに詳しく調べる．

直線

$(1 - i) z - (1 + i) \bar{z} - 2 i = 0$ ･･････(4)

について

$z = x + y i$ （ $x$ ， $y$ は実数）･･････(5)

とおくと

$\bar{z} = x - y i$ ･･････(6)

となる．

(4)，(5)を(3)に代入し，以下のように式変形をする．

$(1 - i) (x + y i) - (1 + i) (x - y i) - 2 i = 0$

$x + y i - x i + y - x + y i - x i - y - 2 i = 0$

$- 2 x i + 2 y i - 2 i = 0$

$x - y + 1 = 0$ ･･････(7)

(6)は座標平面における直線の方程式の一般形になっている．

$x = 0$ のとき， $y = 1$

$y = 0$ のとき， $x = - 1$

したがって，(3)の直線は，複素平面において，点 $i$ と点 $- 1$ の2点を通る直線を表わす．

一方， $ω = 2 z i + 3$ は

複素平面において，点 $z$ を原点を中心に時計回りに $\frac{π}{2}$ 回転させた後，原点を中心に $2$ 倍に拡大（原点からの距離が $2$ 倍になることを意味する）し，更に実軸の正方向に $3$ 移動させたものが点 $ω$ になる

ことを意味する．

よって，点 $i$ は，点 $1$ に移動し，点 $- 1$ は点 $3 - 2 i$ に移動する．

(3)が点 $1$ と点 $3 - 2 i$ を通る直線か確認をする．

(3)に(5)，(6)を代入し，以下のように式変形をする．

$(1 - i) (x + y i) + (1 + i) (x - y i) - 2 = 0$

$x + y i - x i + y + x - y i + x i + y - 2 = 0$

$2 x + 2 y - 2 = 0$

$x + y - 1 = 0$ ･･････(8)

(8)は座標平面における直線の方程式の一般形になっている．

$x = 1$ のとき， $y = 0$

$x = 3$ のとき， $y = - 2$

となり，(8)は点 $1$ と点 $3 - 2 i$ を通る直線を表わすことが確認できた．

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最終更新日：2025年12月11日