複素数の方程式

■問題

複素平面において，方程式

${\displaystyle 3\left|z\right|=\left|z-8\right|}$

を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．

■答

点 ${\displaystyle -1}$ を中心とする半径 $3$ の円

■ヒント

$\left|z\right|$ は，原点から点 $z$ までの距離． $\left|z-8\right|$ は，点 $-8$ から点 $z$ までの距離．

${\displaystyle 3\left|z\right|=\left|z-8\right|\iff \left|z\right|:\left|z-8\right|=1:3}$

■解答

${\displaystyle 3\left|z\right|=\left|z-8\right|}$ ･･････(1)

(1)の両辺を2乗する．

${\displaystyle 9{\left|z\right|}^2={\left|z-8\right|}^2}$

${\displaystyle 9z\overline{z}=\left(z-8\right)\left(\overline{z-8}\right)}$ （∵ ${\displaystyle {\left|z\right|}^2=z\overline{z}}$  複素数の絶対値を参照）

${\displaystyle 9z\overline{z}=\left(z-8\right)\left(\overline{z}-8\right)}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\alpha -\beta }=\overline{\alpha }-\overline{\beta }}$   共役な複素数の基本式を参照）

${\displaystyle 9z\overline{z}=z\overline{z}-8\left(z+\overline{z}\right)+64}$

${\displaystyle 8z\overline{z}+8\left(z+\overline{z}\right)=64}$

${\displaystyle z\overline{z}+z+\overline{z}=8}$

${\displaystyle \left(z+1\right)\left(\overline{z}+1\right)-1=8}$

${\displaystyle \left(z+1\right)\left(\overline{z+1}\right)=9}$

${\displaystyle {\left|z+1\right|}^2=9}$

${\displaystyle \left|z+1\right|=3}$ ･･････(2)

(2)は， ${\displaystyle -1}$ を中心とする半径 $3$ の円の方程式である．

■備考

ヒントより，原点から点 $z$ までの距離と $\left|z-8\right|$ は，点 $-8$ から点 $z$ までの距離の比が， ${\displaystyle 1:3}$ になっている．このことより，点 $z$ の軌跡は円（アポロニウスの円）になる．

アポロニウスの円は，原点と点 $8$ を結ぶ線分を $1:3$ に内分する点と外分する点を結ぶ線分を直径とする円である．

内分点は

${\displaystyle \frac{nq+mp}{m+n}=\frac{3\cdot 0+1\cdot 8}{1+3}=2}$

外分点は

${\displaystyle \frac{-np+mq}{m-n}=\frac{-3\cdot 0+1\cdot 8}{1-3}=-4}$

となる．

したがって

円の中心は

${\displaystyle \frac{2+\left(-4\right)}{2}=-1}$

円の半径は

${\displaystyle \left|\frac{2-\left(-4\right)}{2}\right|=3}$

となる．

 

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最終更新日：2025年11月27日