基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ.

x 1 2 3 1 x + 1 4 5 2 3 2 x 6 4 5 6 2 x + 1

■答

4 x 4 + 6 x 3 18 x 2 + 150 x 76

■計算

x 1 2 3 1 x + 1 4 5 2 3 2 x 6 4 5 6 2 x + 1

=1× 1 1+2 1 4 5 2 2x 6 4 6 2x+1 + x+1 1 2+2 x 2 3 2 2x 6 4 6 2x+1 +3× 1 3+2 x 2 3 1 4 5 4 6 2x+1 +5× 1 4+2 x 2 3 1 4 5 2 2x 6

= 1 4 5 2 2x 6 4 6 2x+1 + x+1 x 2 3 2 2x 6 4 6 2x+1 3 x 2 3 1 4 5 4 6 2x+1 +5 x 2 3 1 4 5 2 2x 6   ・・・(1)

それぞれの項の行列式を計算する.

1 4 5 2 2 x 6 4 6 2 x + 1

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする.

= 4 × 1 1 + 2 2 6 4 2 x + 1 + 2 x × 1 2 + 2 1 5 4 2 x + 1 + 6 × 1 3 + 2 1 5 2 6

= 4 2 6 4 2 x + 1 + 2 x 1 5 4 2 x + 1 6 1 5 2 6

= 4 4 x + 2 24 + 2 x 2 x + 1 20 6 6 10

= 8 2 x 11 + 2 x 2 x 19 12 2

= 16 x + 88 + 4 x 2 38 x + 24

= 4 x 2 54 x + 112   ・・・(2)

x 2 3 2 2 x 6 4 6 2 x + 1

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする.

= 2 × 1 1 + 2 2 6 4 2 x + 1 + 2 x × 1 2 + 2 x 3 4 2 x + 1 + 6 × 1 3 + 2 x 3 2 6

= 2 2 6 4 2 x + 1 + 2 x x 3 4 2 x + 1 6 x 3 2 6

= 2 4 x + 2 24 + 2 x 2 x 2 + x 12 6 6 x 6

= 2 4 x 22 + 2 x 2 x 2 + x 12 6 6 x 6

=8x+44+4 x 3 +2 x 2 24x36x+36

= 4 x 3 + 2 x 2 68 x + 80   ・・・(3)

x 2 3 1 4 5 4 6 2 x + 1

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする.

=2× 1 1+2 1 5 4 2x+1 +4× 1 2+2 x 3 4 2x+1 +6× 1 3+2 x 3 1 5

=2| 1 5 4 2x+1 |+4| x 3 4 2x+1 |6| x 3 1 5 |

=2{ ( 2x+120 )2( 2 x 2 +x12 )+3( 5x3 ) }

=2{ ( 2x19 )2( 2 x 2 +x12 )+3( 5x3 ) }

=2( 2x194 x 2 2x+24+15x9 )

=2( 4 x 2 +15x4 )

=8 x 2 30x+8   ・・・(4)

x 2 3 1 4 5 2 2 x 6

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする.

= 2 × 1 1 + 2 1 5 2 6 + 4 × 1 2 + 2 x 3 2 6 + 2 x × 1 3 + 2 x 3 1 5

= 2 1 5 2 6 + 4 x 3 2 6 2 x x 3 1 5

= 2 6 10 + 4 6 x 6 2 x 5 x 3

= 2 4 + 4 6 x 6 2 x 5 x 3

= 8 + 24 x 24 10 x 2 + 6 x

= 10 x 2 + 30 x 16   ・・・(5)

(1)に(2)〜(5)をそれぞれ代入する.

1 4 5 2 2x 6 4 6 2x+1 + x+1 x 2 3 2 2x 6 4 6 2x+1 3 x 2 3 1 4 5 4 6 2x+1 +5 x 2 3 1 4 5 2 2x 6

=( 4 x 2 54x+112 ) +( x+1 )×( 4 x 3 +2 x 2 68x+80 ) 3( 8 x 2 30x+8 ) +5( 10 x 2 +30x16 )

=4 x 2 +54x112+4 x 4 +6 x 3 66 x 2 +12x+80 24 x 2 +90x24 50 x 2 +150x80

=4 x 4 +6 x 3 144 x 4 +306x136

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2023年10月10日