基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ．

$|\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x + 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 2 x & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$

■答

${4 x}^{4} + 6 x^{3} - 18 x^{2} + 150 x - 76$

■計算

$|\begin{matrix} x & 1 & 2 & 3 \\ 1 & x + 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 2 x & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$

$= 1 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ (x + 1) {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ 5 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \end{matrix}|$

$= - |\begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ (x + 1) |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $- 3 |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ 5 |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \end{matrix}|$ 　･･･（1）

それぞれの項の行列式を計算する．

$|\begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 4 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 2 x \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 6 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

$= - 4 |\begin{matrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 2 x |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| - 6 |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

$= - 4 (4 x + 2 - 24) + 2 x (2 x + 1 - 20) - 6 (6 - 10)$

$= - 8 (2 x - 11) + 2 x (2 x - 19) - 12 (- 2)$

$= - 16 x + 88 + 4 x^{2} - 38 x + 24$

$= 4 x^{2} - 54 x + 112$ 　･･･（2）

$|\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 2 x \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 6 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

$= - 2 |\begin{matrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 2 x |\begin{matrix} x & 3 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| - 6 |\begin{matrix} x & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}|$

$= - 2 (4 x + 2 - 24) + 2 x ({2 x}^{2} + x - 12) - 6 (6 x - 6)$

$= - 2 (4 x - 22) + 2 x ({2 x}^{2} + x - 12) - 6 (6 x - 6)$

$= - 8 x + 44 + 4 x^{3} + 2 x^{2} - 24 x - 36 x + 36$

$= {4 x}^{3} + {2 x}^{2} - 68 x + 80$ 　･･･（3）

$|\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 4 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix}| + 6 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}|$

$= - 2 | \begin{matrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix} | + 4 | \begin{matrix} x & 3 \\ 4 & 2 x + 1 \end{matrix} | - 6 | \begin{matrix} x & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix} |$

$= - 2 {(2 x + 1 - 20) - 2 (2 x^{2} + x - 12) + 3 (5 x - 3)}$

$= - 2 {(2 x - 19) - 2 (2 x^{2} + x - 12) + 3 (5 x - 3)}$

$= - 2 (2 x - 19 - 4 x^{2} - 2 x + 24 + 15 x - 9)$

$= - 2 (- 4 x^{2} + 15 x - 4)$

$= 8 x^{2} - 30 x + 8$ 　･･･（4）

$|\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{matrix}| + 4 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}| + 2 x \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} x & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}|$

$= - 2 |\begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \end{matrix}| + 4 |\begin{matrix} x & 3 \\ 2 & 6 \end{matrix}| - 2 x |\begin{matrix} x & 3 \\ 1 & 5 \end{matrix}|$

$= - 2 (6 - 10) + 4 (6 x - 6) - 2 x (5 x - 3)$

$= - 2 (- 4) + 4 (6 x - 6) - 2 x (5 x - 3)$

$= 8 + 24 x - 24 - {10 x}^{2} + 6 x$

$= - {10 x}^{2} + 30 x - 16$ 　･･･（5）

（1）に（2）～（5）をそれぞれ代入する．

$- |\begin{matrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ (x + 1) |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 2 & 2 x & 6 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $- 3 |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 4 & 6 & 2 x + 1 \end{matrix}|$ $+ 5 |\begin{matrix} x & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 2 x & 6 \end{matrix}|$

$= - (4 x^{2} - 54 x + 112)$ $+ (x + 1) \times (4 x^{3} + 2 x^{2} - 68 x + 80)$ $- 3 (8 x^{2} - 30 x + 8)$ $+ 5 (- 10 x^{2} + 30 x - 16)$

$= - 4 x^{2} + 54 x - 112 + 4 x^{4}$ $+ 6 x^{3} - 66 x^{2} + 12 x + 80$ $- 24 x^{2} + 90 x - 24$ $- 50 x^{2} + 150 x - 80$

$= 4 x^{4} + 6 x^{3} - 144 x^{4} + 306 x - 136$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日