偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{3x-4y}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{3}{2\sqrt{3x-4y}}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2}{\sqrt{3x-4y}}}$

■ヒント

平方根を累乗根の指数形である${\displaystyle {\left(3x-4y\right)}^{\frac{1}{2}}}$に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

平方根を累乗根の指数に変形する．
指数が有理数の場合も参照．

${\displaystyle z}$${\displaystyle =\sqrt{3x-4y}}$${\displaystyle ={\left(3x-4y\right)}^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle u=3x-4y}$ とおくと，

${\displaystyle z=u^{\frac{1}{2}}}$

微分する．

${\displaystyle \frac{dz}{du}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}·u^{\frac{1}{2}-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}}$(指数が有理数の場合も参照．)

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =3·1·x^{1-1}}$${\displaystyle =3}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}·3}$

${\displaystyle u=3x-4y}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{3}{2\sqrt{3x-4y}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =-4·1·y^{1-1}}$${\displaystyle =-4}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}·\frac{\partial u}{\partial y}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}·\left(-4\right)}$

${\displaystyle u=3x-4y}$を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$${\displaystyle =-\frac{2}{\sqrt{3x-4y}}}$

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最終更新日： 2023年8月24日