偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z=\sqrt{5x^2+7y^3}}$

■答

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+7y^3}}}$

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{21y^2}{2\sqrt{5x^2+7y^3}}}$

■ヒント

平方根を累乗根の指数形である${\displaystyle {\left(5x^2+7y^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

平方根を累乗根の指数に変形する．
指数が有理数の場合も参照．

${\displaystyle z=\sqrt{5x^2+7y^3}={\left(5x^2+7y^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle u=5x^2+7y^3}$ とおくと，

${\displaystyle z=u^{\frac{1}{2}}}$

微分する．

${\displaystyle \frac{dz}{du}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}·u^{\frac{1}{2}-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}}$(指数が有理数の場合も参照．)

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10x}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{10x}{2\sqrt{u}}=\frac{5x}{\sqrt{u}}}$

${\displaystyle u=5x^2+7y^3}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{5x}{\sqrt{5x^2+7y^3}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=7\cdot 3\cdot y^{3-1}=21y^2}$

${\displaystyle \frac{dz}{du}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 21y^2}$

${\displaystyle u=5x^2+7y^3}$を代入する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{21y^2}{2\sqrt{5x^2+7y^3}}}$

　

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最終更新日： 2023年8月24日