偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\sqrt{x^2-xy}}$

■答

${\displaystyle {\displaystyle f_x\left(1,-2\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}}}$ ， ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

■ヒント

1. 平方根を累乗根の指数に変形し，合成関数の微分を行う．
2. 偏導関数の定義を用いて偏微分する．
3. 微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を変形すると

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\sqrt{x^2-xy}}$

${\displaystyle ={\left(x^2-xy\right)}^{\frac{1}{2}}}$

(平方根を累乗根の指数に変形する． 指数が有理数の場合も参照．)

更に， ${\displaystyle u=x^2-xy}$ とおくと

${\displaystyle f\left(x,y\right)=u^{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle u}$ で微分し， ${\displaystyle u=x^2-xy}$ を代入する．

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}·u^{\frac{1}{2}-1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{u}}}$ (平方根を累乗根の指数に変形する． 指数が有理数の場合も参照．)

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle u}$ を ${\displaystyle x}$ で偏微分すると

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$ ${\displaystyle =2x-y}$

よって， ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x}$ で偏微分すると

(偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．)

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}\times \left(2x-y\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2x-y}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle \frac{2x-y}{2\sqrt{x^2-xy}}}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_x\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =\frac{2·1-\left(-2\right)}{2\sqrt{1^2-1·\left(-2\right)}}}$

${\displaystyle =\frac{2+2}{2\sqrt{1+2}}}$

${\displaystyle =\frac{4}{2\sqrt{3}}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{3}}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}$ ${\displaystyle =-x}$

${\displaystyle \frac{d}{du}f\left(x,y\right)\times \frac{\partial u}{\partial y}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x^2-xy}}\times \left(-x\right)}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{x}{2\sqrt{x^2-xy}}}$

${\displaystyle -\frac{x}{2\sqrt{x^2-xy}}}$ に ${\displaystyle x=1,y=-2}$ を代入する．

$f_y\left(1,-2\right)$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{1^2-1\cdot \left(-2\right)}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{1+2}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

　

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最終更新日： 2025年11月24日