偏微分とその値

■問題

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

■答

それぞれ，${\displaystyle \frac{2}{5}}$，${\displaystyle \frac{1}{5}}$

■ヒント

${\displaystyle {\tan }^{-1}}$ の微分を，合成関数の微分によって行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．
微分後の式に数値を代入する．

■解説

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ とおくと

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial x}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial x}}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}{\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$${\displaystyle =\frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial y}}$

となる．

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u=\frac{1}{1+u^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{y}{x}=-\frac{y}{x^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{x}=\frac{1}{x}}$

よって

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+u^2}\left(-\frac{y}{x^2}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{y}{x^2}}$${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle \frac{d}{du}{\tan }^{-1}u\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{1+u^2}\frac{1}{x}}$${\displaystyle =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\frac{1}{x}}$${\displaystyle =\frac{x}{x^2+y^2}}$

すなわち

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)=\frac{x}{x^2+y^2}}$

となる．

${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)=\frac{-\left(-2\right)}{1^2+{\left(-2\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}}$

${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)=\frac{1}{1^2+{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{5}}$

　

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最終更新日： 2024年5月7日