偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$ である．

■ヒント

${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる． このとき，積の微分と合成関数の微分を用いる．

■解説

${\displaystyle u=\frac{y}{x}}$ とおくと

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(u\right)}$ ， ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}}$ ， ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する（ここを参照）．

${\displaystyle =-\frac{1}{x^2}·f\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x^3}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

より

${\displaystyle -\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{1}{x^2}f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{x^3}{f}^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

${\displaystyle -\frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する（ここを参照）．

${\displaystyle =0·f\left(u\right)+\frac{1}{x}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)·\frac{1}{x}}$

${\displaystyle =\frac{1}{x^2}·f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

より

${\displaystyle x^2·\frac{\partial z}{\partial y}=f^{\prime }\left(\frac{y}{x}\right)}$

以上から

${\displaystyle -\frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=x^2·\frac{\partial z}{\partial y}}$

${\displaystyle \frac{x^3}{y}·\frac{\partial z}{\partial x}+x^2·\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{x}{y}f\left(\frac{y}{x}\right)=0}$

両辺に ${\displaystyle \frac{y}{x^2}}$ をかける．

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)=0}$

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ を代入する．

${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$

 

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最終更新日： 2023年8月25日