合成関数の偏微分

■問題

${\displaystyle z=x^2+y^2,x=t-sint,y=1-cost}$ のとき， ${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle =2t\left(1-\cos t\right)}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

${\displaystyle x^{\alpha }}$ の微分の公式と ${\displaystyle sinx}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-cost}$

${\displaystyle cosx}$ の微分の公式より

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=sint}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle z_x=\frac{\partial z}{\partial x}=2x}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分すると

${\displaystyle z_y=\frac{\partial z}{\partial y}=2y}$

以上から

合成関数の偏微分の公式より

${\displaystyle \frac{dz}{dt}}$${\displaystyle =z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

${\displaystyle =2x\left(1-cost\right)+2y\left(sint\right)}$

${\displaystyle =2x\left(1-cost\right)+2ysint}$

${\displaystyle =2\left(t-\sin t\right)\left(1-\cos t\right)}$${\displaystyle +2\left(1-\cos t\right)\sin t}$

${\displaystyle =2\left(1-\cos t\right)\left(t-\sin t+\sin t\right)}$

${\displaystyle =2t\left(1-\cos t\right)}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>合成関数の偏微分

学生スタッフ作成

2023年8月28日