微分　cosx 

${\displaystyle {\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x}$  

■導出 

導関数の定義式${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$ より

${\displaystyle {\left(cosx\right)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{cos\left(x+\Delta x\right)-cosx}{\Delta x}}$

和積の公式 ${\displaystyle \cos \varphi -\cos \theta =-2\sin \frac{\varphi +\theta }{2}\sin \frac{\varphi -\theta }{2}}$ より

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{-2sin\frac{2x+\Delta x}{2}·sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}}$

${\displaystyle \frac{2}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{2}}}$ より

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\left\{-sin\frac{2x+\Delta x}{2}·\frac{sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right\}}$

極限の性質 $\underset{x\to a}{\lim }\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}=\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)$より

${\displaystyle =-\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \frac{2x+\Delta x}{2}\right)\left(\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$ →${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}=1}$より

${\displaystyle =-\mathbf{sin}\mathit{x}}$

 

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最終更新日： 2026年5月21日