合成関数の偏微分

■問題

${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$, ${\displaystyle x=u\cos \alpha -v\sin \alpha }$, ${\displaystyle y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ならば

${\displaystyle {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}$ ${\displaystyle ={\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^2}$

となることを示せ．

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

●参考

${\displaystyle x=u\cos \alpha -v\sin \alpha }$, ${\displaystyle y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$の変換を行列を使って表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u\cos \alpha -v\sin \alpha \\ u\sin \alpha +v\cos \alpha \end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\cos \left(-\alpha \right)& -\sin \left(-\alpha \right)\\ \sin \left(-\alpha \right)& \cos \left(-\alpha \right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

杜なる．すなわち，${\displaystyle \left(x,y\right)}$ から${\displaystyle \left(u,v\right)}$ の変数変換は，幾何学的にいうと$z$ 軸を回転の中心として原点を中心として$-\alpha$回転したものになる．2次元回転行列を参照．

■解答

${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle u}$ で合成関数の偏微分をすると

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=f_x\frac{\partial x}{\partial v}+f_y\frac{\partial y}{\partial v}}$ ${\displaystyle =f_x\cos \alpha +f_y\sin \alpha }$

となる．

同様に， ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle v}$ で合成関数の偏微分をすると

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=f_x\frac{\partial x}{\partial v}+f_y\frac{\partial y}{\partial v}}$

${\displaystyle =f_x\left(-\sin \alpha \right)+f_y\cos \alpha }$

${\displaystyle =f_y\cos \alpha -f_x\sin \alpha }$

したがって

${\displaystyle {\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)}^2}$

${\displaystyle =f_x^2+f_y^2}$

${\displaystyle ={\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}$

　

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学生スタッフ作成

2023年8月29日