2次の偏微分

■問題

次の関数の第2次偏導関数を求めよ．

${\displaystyle z=\sqrt{\frac{x}{y}}}$

■答

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=-\frac{1}{4x\sqrt{xy}}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{3\sqrt{x}}{4y^2\sqrt{y}}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=-\frac{1}{4y\sqrt{xy}}}$

■ヒント

2次偏導関数${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ ，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$，${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の4つを求める．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ を計算してから，それぞれを更に$x$，$y$で偏微分する．

■解説

与式を変形すると，

${\displaystyle z=\sqrt{\frac{x}{y}}}$

平方根を累乗根の指数に変形する． 指数が有理数の場合も参照．

${\displaystyle =x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}}$

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ の計算

${\displaystyle z=x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}}$ を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{xy}}}$ 　･･････(1)

●${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ の計算

${\displaystyle z=x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}}$ を偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}\right)}$${\displaystyle =x^{\frac{1}{2}}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{3}{2}}}$ ${\displaystyle =-\frac{\sqrt{x}}{2y\sqrt{y}}}$ 　･･････(2)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$ の計算

(1)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}}$${\displaystyle =-\frac{1}{4x\sqrt{xy}}}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$ の計算

(2)を更に， 偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{3}{2}}\right)}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{5}{2}}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{x}}{4y^2\sqrt{y}}}$

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ の計算

(1)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{1}{2}}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4y\sqrt{xy}}}$ 　･･････(3)

●${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ の計算

(2)を更に，偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{3}{2}}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}{y}^{-\frac{3}{2}}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4y\sqrt{xy}}}$ 　･･････(4)

(3)，(4)より

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$

となり，2次偏導関数は偏微分する順序には無関係であることが確かめられた．

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月31日