陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^2-2xy+3y^2=8}$

■答

${\displaystyle x=-2}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -2}$ をとり， ${\displaystyle x=2}$ のとき，極大値 ${\displaystyle 2}$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

与式を変形すると

${\displaystyle x^2-2xy+3y^2-8=0}$　･･････(1)

となり

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2-2xy+3y^2-8}$　･･････(2)

とおく．

(2)を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2-2xy+3y^2-8\right)}$

${\displaystyle =2x-2y}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle y=x}$　･･････(3)

ときである．(3)を(1)に代入して，

${\displaystyle x^2-2x·x+3{\left(x\right)}^2-8=0}$

${\displaystyle x^2-2x^2+3x^2-8}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 2x^2}$ ${\displaystyle =8}$

${\displaystyle x^2}$ ${\displaystyle =4}$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =\pm 2}$

故に極値をとる候補は， ${\displaystyle y=x}$ の関係から， ${\displaystyle \left(2,2\right),\left(-2,-2\right)}$ の2点となる．

次に，上記2点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(4)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(2x-2y\right)}$${\displaystyle =2}$　･･････(5)

${\displaystyle f_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2-2xy+3y^2-8\right)}$ ${\displaystyle =-2x+6y}$　･･････(6)

(5)，(6)を(4)に代入する．

${\displaystyle y^{″}=-\frac{2}{-2x+6y}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{x-3y}}$

${\displaystyle \left(2,2\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}=\frac{1}{2-3·2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2-6}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

${\displaystyle \left(-2,-2\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}=\frac{1}{-2-3·\left(-2\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{-2+6}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

よって

${\displaystyle y^{″}>0}$

以上から， ${\displaystyle x=-2}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -2}$ をとり， ${\displaystyle x=2}$ のとき，極大値 ${\displaystyle 2}$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月17日