陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^{2}y-x{y}^2+128=0}$

■答

${\displaystyle x=4}$ のとき，極小値 ${\displaystyle 8}$ をとる. 

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^{2}y-x{y}^2+128}$　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{2}y-x{y}^2+128\right)}$

${\displaystyle =2xy-y^2}$

${\displaystyle =\left(2x-y\right)y}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle y=0,2x}$

しかし，${\displaystyle y=0}$ の時，与式を満たさないので， ${\displaystyle y=2x}$ である．

この関係を与式に代入して，

${\displaystyle x^2·2x-x·{\left(2x\right)}^2+128}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 2x^3-4x^3+128}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -2x^3+128}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^3}$ ${\displaystyle =64}$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =4}$

故に極値をとる候補は， ${\displaystyle y=2x}$ の関係から，点 ${\displaystyle \left(4,8\right)}$ となる．

次に，上記点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(2)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left\{\left(2x-y\right)y\right\}}$${\displaystyle =2y}$　･･････(3)

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^{2}y-x{y}^2+128\right)}$${\displaystyle =x^2-2xy}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入する．

${\displaystyle y^{″}}$ ${\displaystyle =-\frac{2y}{x^2-2xy}}$

${\displaystyle \left(4,8\right)}$ のとき $y^{″}$は

$y^{″}$ ${\displaystyle =-\frac{2·8}{4^2-2·4·8}}$ ${\displaystyle =-\frac{16}{16-64}}$ ${\displaystyle =-\frac{28}{-48}}$ ${\displaystyle =\frac{7}{12}}$

よって

${\displaystyle y^{″}>0}$

以上から， ${\displaystyle x=4}$ のとき，極小値 ${\displaystyle 8}$ をとる.

　

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最終更新日： 2023年9月17日