陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^2{y}^2-2x+9y^2=0}$

■答

${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとり， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^2{y}^2-2x+9y^2}$　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2{y}^2-2x+9y^2\right)}$ ${\displaystyle =2y^{2}x-2}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle 2y^{2}x-2}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 2y^{2}x}$ ${\displaystyle =2}$

${\displaystyle x{y}^2}$ ${\displaystyle =1}$

${\displaystyle y^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{x}}$

${\displaystyle y^2\geqq 0}$ より，${\displaystyle x>0}$ となる．このとき

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{1}{x}}}$

${\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{x}}}$ を与式に代入して

${\displaystyle x^2{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2-2x+9{\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2=0}$

${\displaystyle x^2·\frac{1}{x}-2x+9·\frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x-2x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$
${\displaystyle -x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle =-\frac{9}{x}}$

${\displaystyle x^2}$ ${\displaystyle =9}$

${\displaystyle x>0}$ より

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =3}$

${\displaystyle y=-\sqrt{\frac{1}{x}}}$ を代入すると

${\displaystyle x^2{\left(-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2-2x+9{\left(-\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}^2}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^2·\frac{1}{x}-2x+9·\frac{1}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x-2x+\frac{9}{x}}$ ${\displaystyle =0}$

となり， ${\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{x}}}$ と同じ式となるので，同様に

${\displaystyle x=3}$

となる．

故に極値をとる候補は， ${\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{1}{x}}}$ の関係から，${\displaystyle x=3}$ を代入したときに得られる ${\displaystyle \left(3,\sqrt{\frac{1}{3}}\right),\left(3,-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ の2点となる．

次に，上記2点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(2)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(2y^{2}x-2\right)}$${\displaystyle =2y^2}$　･･････(3)

${\displaystyle f_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2{y}^2-2x+9y^2\right)}$${\displaystyle =2x^{2}y+18y}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入する．

${\displaystyle y^{″}=-\frac{2y^2}{2x^{2}y+18y}}$ ${\displaystyle =-\frac{y}{x^2+9}}$

${\displaystyle \left(3,\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は，

${\displaystyle y^{″}=-\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{3^2+9}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{9+9}\sqrt{\frac{1}{3}}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{81}\sqrt{\frac{1}{3}}}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

${\displaystyle \left(3,-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}=-\frac{-\sqrt{\frac{1}{3}}}{3^2+9}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{9+9}\sqrt{\frac{1}{3}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{81}\sqrt{\frac{1}{3}}}$

よって

${\displaystyle y^{″}>0}$

以上から， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極小値 ${\displaystyle -\sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとり， ${\displaystyle x=3}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ をとる．

　

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最終更新日： 2023年9月17日