陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^3-12xy+2y^3=0}$

■答

${\displaystyle x=4}$ のとき，極大値 ${\displaystyle 4}$ をとる. 

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^3-12xy+2y^3}$　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x=\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^3-12xy+2y^3\right)}$ ${\displaystyle =3x^2-12y}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle 3x^2-12y=0}$ ${\displaystyle }$

${\displaystyle y=\frac{1}{4}{x}^2}$　･･････(2)

この関係を与式に代入して

${\displaystyle x^3-12x·\frac{1}{4}{x}^2+2·{\left(\frac{1}{4}{x}^2\right)}^3=0}$

${\displaystyle x^3-3x^3+\frac{2}{64}{x}^6}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle -2x^3+\frac{1}{32}{x}^6}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 64x^3-x^6=0}$

${\displaystyle x^3\left(64-x^3\right)=0}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^3=0\\ 64-x^3=0\end{array}}$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =0,4}$

故に極値をとる候補は，(2)の関係から

${\displaystyle x=0}$ のとき

${\displaystyle y=\frac{1}{4}·0^2=0}$

${\displaystyle x=4}$ のとき

${\displaystyle y=\frac{1}{4}·4^2}$ ${\displaystyle =4}$

となり， ${\displaystyle \left(0,0\right),\left(4,4\right)}$ の2点となる．

次に，上記2点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(3)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(3x^2-12y\right)}$ ${\displaystyle =6x}$　･･････(4)

${\displaystyle f_y=\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^3-12xy+2y^3\right)}$ ${\displaystyle =-12x+6y^2}$　･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

${\displaystyle y^{″}=-\frac{6x}{-12x+6y^2}}$ ${\displaystyle =-\frac{x}{-2x+y^2}}$ ${\displaystyle =\frac{x}{2x-y^2}}$

${\displaystyle \left(0,0\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$は

${\displaystyle y^{″}=\frac{0}{2·0-0^2}=0}$

よって

${\displaystyle y^{″}=0}$

${\displaystyle \left(4,4\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$は

${\displaystyle y^{″}=\frac{4}{2·4-4^2}}$ ${\displaystyle =\frac{4}{8-16}}$ ${\displaystyle =-\frac{4}{8}}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

以上から， ${\displaystyle x=4}$ のとき，極大値 ${\displaystyle 4}$ をとる. ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ は特異点である．

　

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最終更新日： 2023年9月17日