陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ の極値を調べよ．

${\displaystyle x^4+4x^2+3y^3-2y=0}$

■答

${\displaystyle x=0}$ のとき，極小値 ${\displaystyle 0}$ をとり， ${\displaystyle x=0}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}}$ をとる． 

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

${\displaystyle f\left(x,y\right)=x^4+4x^2+3y^3-2y}$　･･････(1)

とおく．

(1)を 偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle f_x=\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(x^4+4x^2+3y^3-2y\right)}$ ${\displaystyle =4x^3+8x=0}$

よって，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$となるのは

${\displaystyle 4x^3+8x}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^3+2x}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x\left(x^2+2\right)}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=0\\ x^2+2=0\cdots \cdots \left(2\right)\end{array}}$

(2)から

${\displaystyle x^2}$ ${\displaystyle =-2}$

となり，これを満たす ${\displaystyle x}$ はない．

以上から，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$を満たす$x$ は ${\displaystyle x=0}$ となる．

${\displaystyle x=0}$を与式に代入すると

${\displaystyle 0^4+4·0^2+3y^3-2y}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle 3y^3-2y}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle y\left(3y^2-2\right)}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=0\\ 3y^2-2=0\cdots \cdots \left(3\right)\end{array}}$

${\displaystyle 3y^2}$ ${\displaystyle =2}$

${\displaystyle y^2}$ ${\displaystyle =\frac{2}{3}}$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2}{3}}}$

故に極値をとる候補は， ${\displaystyle \left(0,0\right),\left(0,\sqrt{\frac{2}{3}}\right),\left(0,-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$ の3点となる．

次に，上記3点(${\displaystyle y^{\prime }=0}$ ，言い換えると，${\displaystyle f_x\left(x,y\right)=0}$ )における ${\displaystyle y^{″}}$ を求める．この場合

${\displaystyle y^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{f_{xx}}{f_y}}$　･･････(4)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

${\displaystyle f_{xx}}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}{f}_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(4x^3+8x\right)}$ ${\displaystyle =12x^2+8}$　･･････(5)

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^4+4x^2+3y^3-2y\right)}$ ${\displaystyle =9y^2-2}$　･･････(6)

(5)，(6)を(4)に代入して

${\displaystyle y^{″}}$ ${\displaystyle =-\frac{12x^2+8}{9y^2-2}}$

${\displaystyle \left(0,0\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は，

${\displaystyle y^{″}}$${\displaystyle =-\frac{12·0^2+8}{9·0^2-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{-2}}$ ${\displaystyle =\frac{8}{2}}$ ${\displaystyle =4}$

よって

${\displaystyle y^{″}>0}$

${\displaystyle \left(0,\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}}$ ${\displaystyle =-\frac{12·0^2+8}{9·{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}^2-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{9·\frac{2}{3}-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{6-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{4}}$ ${\displaystyle =-2}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

${\displaystyle \left(0,-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$ のとき ${\displaystyle y^{″}}$ は

${\displaystyle y^{″}}$${\displaystyle =-\frac{12·0^2+8}{9·{\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)}^2-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{9·\frac{2}{3}-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{6-2}}$ ${\displaystyle =-\frac{8}{4}}$ ${\displaystyle =-2}$

よって

${\displaystyle y^{″}<0}$

以上から， ${\displaystyle x=0}$ のとき，極小値 ${\displaystyle 0}$ をとり， ${\displaystyle x=0}$ のとき，極大値 ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}}$ をとる．

　

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最終更新日： 2023年9月18日