2次偏導関数の問題

■問題

${\displaystyle z=xf\left(ax+by\right)+yg\left(ax+by\right)}$ ならば

${\displaystyle b^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-2ab\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+a^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0}$

であることを示せ．

■ヒント

偏微分の基本公式（Ⅰ）の上から3番目と5番目を利用し

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$

の順に求めていく．

最後に与式の左辺に全て代入する．

■解説

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ とおく．

${\displaystyle z=xf\left(r\left(x,y\right)\right)+yg\left(r\left(x,y\right)\right)}$

これを ${\displaystyle x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left\{xf\left(r\left(x,y\right)\right)+yg\left(r\left(x,y\right)\right)\right\}}$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から3番目を利用する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から5番目を利用する．

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ の関係を用いる．

${\displaystyle =f\left(r\left(x,y\right)\right)+x\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·a\right\}}$ ${\displaystyle +y\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·a\right\}}$

${\displaystyle =f\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ax{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+}$${\displaystyle ay{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$

${\displaystyle =ax{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ay{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +f\left(r\left(x,y\right)\right)}$

これを更に ${\displaystyle x}$ で偏微分する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から3番目を利用する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から5番目を利用する．

${\displaystyle =a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ax·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}r\left(x,y\right)\right\}}$ ${\displaystyle +0}$${\displaystyle +ay·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}r\left(x,y\right)\right\}}$
${\displaystyle +\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}r\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ の関係を用いる．

${\displaystyle =a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ax·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}\left(ax+by\right)\right\}}$ ${\displaystyle +ay·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}\left(ax+by\right)\right\}}$
${\displaystyle +f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial x}\left(ax+by\right)}$

${\displaystyle =a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+ax·f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·a}$ ${\displaystyle +ay·g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·a+f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·a}$

${\displaystyle =a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+a^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle +a^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$

${\displaystyle =a^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)+2a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+}$${\displaystyle a^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$

よって

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$${\displaystyle =a^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +2a{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +a^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$　･･････(1)

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ を更に ${\displaystyle y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分）する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から3番目を利用する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から5番目を利用する．

${\displaystyle =0+ax·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$ ${\displaystyle +a·g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ay·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$
${\displaystyle +\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ の関係を用いる．

${\displaystyle =ax·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$ ${\displaystyle +a{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +ay·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$
${\displaystyle +\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$

${\displaystyle =ax·f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·b}$ ${\displaystyle +a{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+ay·g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·b}$ ${\displaystyle +f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·b}$

${\displaystyle =abx{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)+b{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle +a{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+aby{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$

偏微分の順序交換 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$ が成り立つので

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}$

${\displaystyle =abx{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)+b{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle +a{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+aby{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$　･･････(2)

次に ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left\{xf\left(r\left(x,y\right)\right)+yg\left(r\left(x,y\right)\right)\right\}}$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から3番目を利用する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}x·f\left(r\left(x,y\right)\right)+x·\frac{\partial }{\partial y}f\left(r\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle +\frac{\partial }{\partial y}y·g\left(r\left(x,y\right)\right)+y·\frac{\partial }{\partial y}g\left(r\left(x,y\right)\right)}$

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から5番目を利用する．

${\displaystyle =0+x·\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$ ${\displaystyle +g\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +y·\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ の関係を用いる．

${\displaystyle =x·\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$ ${\displaystyle +g\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +y·\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$

${\displaystyle =x·\left\{f^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·b\right\}}$ ${\displaystyle +g\left(r\left(x,y\right)\right)+y·\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·b\right\}}$

${\displaystyle =bx{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+g\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +by{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$

${\displaystyle =bx{f}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+by{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +g\left(r\left(x,y\right)\right)}$

これを更に ${\displaystyle y}$ で偏微分する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から3番目を利用する．

偏微分の基本公式（Ⅰ）の 上から5番目を利用する．

${\displaystyle =0+bx·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$ ${\displaystyle +b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)+}$${\displaystyle by·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$
${\displaystyle +\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}r\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle r\left(x,y\right)=ax+by}$ の関係を用いる．

${\displaystyle =bx·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$ ${\displaystyle +b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +by·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$
${\displaystyle +\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·\frac{\partial }{\partial y}\left(ax+by\right)\right\}}$

${\displaystyle =bx·\left\{f^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·b\right\}}$ ${\displaystyle +b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +by·\left\{g^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)·b\right\}}$ ${\displaystyle +\left\{g^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)·b\right\}}$

${\displaystyle =b^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$ ${\displaystyle +b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +b^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$

${\displaystyle =b^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)+2b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +b^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$

よって

${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$${\displaystyle =b^{2}x{f}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)+2b{g}^{\prime }\left(r\left(x,y\right)\right)}$${\displaystyle +b^{2}y{g}^{″}\left(r\left(x,y\right)\right)}$　･･････(3)

与式の左辺に(1)，(2)，(3)を代入する．

${\displaystyle b^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-2ab\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+a^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}$

${\displaystyle =0}$

　

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最終更新日： 2023年9月19日