全微分

■問題

次の関数の微小変化 ${\displaystyle dx,dy}$ に対する全微分を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=\frac{xy}{2x+y}}$

■ヒント

与式を変数 ${\displaystyle x,y}$ でそれぞれ偏微分し，全微分の定義に当てはめる．

■答

与式を$x$ で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{2x+y}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\frac{\partial }{\partial x}xy·\left(2x+y\right)-xy·\frac{\partial }{\partial x}\left(2x+y\right)}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

分数関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =\frac{y·\left(2x+y\right)-xy·2}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2xy+y^2-2xy}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{y^2}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

与式を${\displaystyle y}$で偏微分（偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分）する．

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{2x+y}\right)}$

分数関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =\frac{\frac{\partial }{\partial y}xy·\left(2x+y\right)-xy·\frac{\partial }{\partial y}\left(2x+y\right)}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{x·\left(2x+y\right)-xy·1}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2x^2+xy-xy}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2x^2}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

以上からこの関数の全微分 ${\displaystyle df\left(x,y\right)}$ は

${\displaystyle df\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)dx+\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)dy}$

${\displaystyle =\frac{y^2}{{\left(2x+y\right)}^2}dx+\frac{2x^2}{{\left(2x+y\right)}^2}dy}$

${\displaystyle =\frac{y^{2}dx+2x^{2}dy}{{\left(2x+y\right)}^2}}$

　

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最終更新日： 2023年9月22日