期待値と分散の計算問題

■問題

確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率分布が

${\displaystyle P\left(X=0\right)=\frac{1}{3}}$ ， ${\displaystyle P\left(X=1\right)=\frac{1}{12}}$ ， ${\displaystyle P\left(X=2\right)=\frac{1}{6}}$ ， ${\displaystyle P\left(X=3\right)=\frac{5}{12}}$

のとき， ${\displaystyle X}$ の期待値 ${\displaystyle E\left(X\right)}$ と分散 ${\displaystyle V\left(X\right)}$ を求めよ．

■答

${\displaystyle E\left(X\right)=\frac{5}{3}，V\left(X\right)=\frac{31}{18}}$

■ヒント

与えられた確率分布は，離散型確率分布であることを確認して期待値と分散を求めるとよい．

分散は， ${\displaystyle E\left(X\right)}$ と ${\displaystyle E\left(X^2\right)}$ から求める式を用いると計算が簡単である．

■解き方

与えられた確率分布は離散型確率分布である．

${\displaystyle E\left(X\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_{i}f\left(x_i\right)}$ より（期待値を参照）

${\displaystyle E\left(X\right)}$ ${\displaystyle =0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{12}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{5}{12}}$

${\displaystyle =\frac{1+4+15}{12}}$

${\displaystyle =\frac{5}{3}}$

${\displaystyle V\left(X\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^{2}f\left(x_i\right)}$ より（分散を参照）

●分散の別解

${\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$ の関係式を用いる（分散を参照）．

${\displaystyle E\left(X^2\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 0^2+\frac{1}{12}\cdot 1^2+\frac{1}{6}\cdot 2^2+\frac{5}{12}\cdot 3^2}$

${\displaystyle =\frac{1+8+45}{12}}$

${\displaystyle =\frac{9}{2}}$

よって

${\displaystyle V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2}$

${\displaystyle =\frac{9}{2}-{\left(\frac{5}{3}\right)}^2}$

${\displaystyle =\frac{31}{18}}$

 

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最終更新日： 2026年4月17日 ->