双曲線の問題

■問題

双曲線

$x^2-y^2=1$

の中心，頂点，漸近線，焦点，離心率を求め，その双曲線を描け．

■答

中心：${\displaystyle \left(0,0\right)}$

頂点：${\displaystyle \left(1,0\right)}$， ${\displaystyle \left(-1,0\right)}$

漸近線：${\displaystyle y=x}$ ，${\displaystyle y=-x}$

焦点：${\displaystyle \text{F}}$ ${\displaystyle \left(\sqrt{2},0\right)}$，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(-\sqrt{2},0\right)}$

離心率；${\displaystyle e=\sqrt{2}}$

■解き方

最初に

${\displaystyle \frac{{\left(x-0\right)}^2}{1^2}-\frac{{\left(y-0\right)}^2}{1^2}=1}$

と変形する． 以下の解答はこれを利用する．

中心は${\displaystyle \left(0,0\right)}$

頂点は

${\displaystyle (\pm 1,0)=\left(1,0\right)}$， ${\displaystyle \left(-1,0\right)}$

漸近線を${\displaystyle y=ax+b}$ とすると

${\displaystyle x^2-y^2=1}$ ，${\displaystyle y^2=x^2-1}$ ，${\displaystyle y=\pm \sqrt{x^2-1}}$ ，${\displaystyle f\left(x\right)=\pm \sqrt{x^2-1}}$

${\displaystyle a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\pm \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\pm \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$${\displaystyle =\pm 1}$

${\displaystyle b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{f\left(x\right)-ax\right\}}$${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left\{\pm \sqrt{x^2-1}-\left(\pm 1\right)x\right\}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \left(\sqrt{x^2-1}-x\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(\sqrt{x^2-1}-x\right)\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{\left(x^2-1\right)-x^2}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\pm \frac{-1}{\left(\sqrt{x^2-1}+x\right)}}$

${\displaystyle =0}$

よって，漸近線は

${\displaystyle y=\pm x}$

${\displaystyle $ {\displaystyle y=x}$}$，${\displaystyle y=-x}$

焦点${\displaystyle \text{F}}$の計算は

${\displaystyle \text{F}}$${\displaystyle \left(\sqrt{1^2+1^2},0\right)}$ ，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$${\displaystyle \left(-\sqrt{1^2+1^2},0\right)}$

よって

${\displaystyle \text{F}}$${\displaystyle \left(\sqrt{2},0\right)}$，${\displaystyle {\text{F}}^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(-\sqrt{2},0\right)}$

となる．

離心率${\displaystyle e}$は

${\displaystyle e=\frac{\sqrt{1^2+1^2}}{1}}$

${\displaystyle =\sqrt{2}}$　　 ${\displaystyle \left(=\frac{\text{OF}}{\text{OA}}>1\right)}$

となる．グラフは，上記の解答に記す．

 

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最終更新日： 2024年10月7日