方程式の解の存在に関する問題

■問題

解の存在定理を用いて，方程式 ${\displaystyle 3^x=6x-1}$ が ， ${\displaystyle 0<x<1}$ の区間に実数解を持つことを示せ．

■ヒント

方程式の実数解の存在定理

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=3^x-6x+1}$と置く．

指数関数${\displaystyle 3^x}$ と一次関数 ${\displaystyle 6x-1}$ の差から成る関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は実数全体で連続である．よって

${\displaystyle f\left(x\right)}$は，${\displaystyle 0<x<1}$ の区間で連続である　･･････(1)

また

${\displaystyle f\left(0\right)=3^0-6\cdot 0+1}$${\displaystyle =1-0+1}$${\displaystyle =2}$　･･････(2)

${\displaystyle f\left(1\right)=3^1-6\cdot 1+1}$${\displaystyle =3-6+1}$${\displaystyle =-2}$　･･････(3)

(1)，(2)より

${\displaystyle f\left(0\right)\cdot f\left(1\right)=2\cdot \left(-2\right)=-4<0}$　･･････(4)

である．

(1)と(4)，および，方程式の実数解の存在定理より

方程式 ${\displaystyle 3^x=6x-1}$ は ， ${\displaystyle 0<x<1}$ の区間に少なくとも1つ実数解を持つ

ことになる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日