極限　x→∞　の問題 

■問題

次の極限を求めよ．ただし，n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

■答

${\displaystyle \infty }$

■ヒント

与式の関数は，累乗根と対数からなる．変数xを他の変数に置き換えることによって，極限の基本式を使えるようにする．

■解説

${\displaystyle x=e^{nt}}$  とおくと，${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，${\displaystyle t\to \infty }$となる．よって

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{e^{nt}}-{log}_e{e}^{nt}\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(e^t-nt{log}_{e}e\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}\left(e^t-nt\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to \infty }{lim}{e}^t\left(1-n\frac{t}{e^t}\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\frac{x}{e^x}=0}$ より

${\displaystyle =\infty }$

 

　

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最終更新日： 2025年10月8日