極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}}$

■答

${\displaystyle 4}$

■ヒント

${\displaystyle x\to 3}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$の不定形となる．

${\displaystyle x\to 3}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$となり，分母，分子には共通因数${\displaystyle x-3}$が含まれる（因数定理を参照）．

しかし，分子${\displaystyle \left(\sqrt{x+1}-2\right)}$ には${\displaystyle x-3}$が現れていない．

よって，分母，分子に${\displaystyle \left(\sqrt{x+1}+2\right)}$を掛けて分母の有理化を試みるとよい．

参考までに${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{x+1}-2}}$ を以下のように式変形すると

${\displaystyle \sqrt{x+1}-2}$ ${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}}$

と式変形でき，${\displaystyle x-3}$の因数が含まれる式となる．

■解き方

${\displaystyle x\to 3}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$の不定形となる．

まず，分母を有理化する．分子と分母に${\displaystyle \left(\sqrt{x+1}+2\right)}$ を掛けると

${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 3}{\lim }\left(\sqrt{x+1}+2\right)}$

${\displaystyle =4}$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle 4}$

となる．

 

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最終2026年9月1日