極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-x}-2x\right)}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}\to \infty }$ ， ${\displaystyle 2x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

このような場合， ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}-2x=\frac{\sqrt{4x^2-x}-2x}{1}}$ と考え，分母，分子に ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}+2x}$ をかけて分子を有理化するとよい．

参考： ${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}}$ は ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x+\frac{1}{16}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\left(2x-\frac{1}{4}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =2x-\frac{1}{4}}$ より， ${\displaystyle 2x-\frac{1}{4}}$ に近い値となる．

■解き方

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}\to \infty }$ ， ${\displaystyle 2x\to \infty }$ となり， ${\displaystyle \infty -\infty }$ の不定形となる．

そこで不定形を解消するために分子を有理化をする．

${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}-2x=\frac{\sqrt{4x^2-x}-2x}{1}}$ と考え，分母，分子に ${\displaystyle \sqrt{4x^2-x}+2x}$ をかけると

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-x}{\sqrt{4x^2-x}+2x}}$

分母の最高次数が ${\displaystyle x}$ より，分母，分子のすべての項を ${\displaystyle x}$ で割る．

このとき， ${\displaystyle x\to \infty }$ より， ${\displaystyle x=\sqrt{x^2}}$ であることに注意すると

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}\cdot \left(-x\right)}{\frac{1}{x}\left(\sqrt{4x^2-x}+2x\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-1}{\sqrt{4-\frac{1}{x}}+2}}$

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{x}\to 0}$ より

${\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{4-0}+2}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

となる．

●別解

以下のように式変形すると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-x}-2x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2\left(1-\frac{1}{4x}\right)}-2x\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }2x\left(\sqrt{1-\frac{1}{4x}}-1\right)}$

${\displaystyle x=\frac{1}{t}}$ と置くと， ${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle t\to 0}$ となる．よって上記の式を書き換えると

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }2\cdot \frac{1}{t}\left(\sqrt{1-\frac{t}{4}}-1\right)}$

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4-t}-2}{t}}$

${\displaystyle t\to 0}$ のとき，分母は ${\displaystyle t\to 0}$ ，分子は ${\displaystyle \sqrt{4-t}-2\to 0}$ となる．よって，ロピタルの定理を用いると

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\left(\sqrt{4-t}-2\right)}^{\prime }}{{\left(t\right)}^{\prime }}}$

${\displaystyle =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2\sqrt{4-t}}}{1}}$

${\displaystyle -\frac{1}{4}}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年9月1日