ロピタルの定理

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ が下記に示すi，ii，iiiの条件を満たし， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }}$ の不定形で， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が収束，あるいは， ${\displaystyle \pm \infty }$ のとき

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

が成り立つ．

1. ${\displaystyle a}$ を含む開区間I( ${\displaystyle a}$ を除くことも可能である)で，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ が微分可能で， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ である．

2. ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=0}$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=0}$ ，あるいは， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\pm \infty }$ である．

3. ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が存在( ${\displaystyle \pm \infty }$ でもよい)する．

■証明

I． ${\displaystyle a}$ を含む開区間Iにおいて，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ が連続， $a$ を除いて微分可能で， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ ， ${\displaystyle f\left(a\right)=0}$ ， ${\displaystyle g\left(a\right)=0}$ ，かつ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が存在( $\pm \infty$ でもよい)する特殊な場合

● ${\displaystyle x>a}$ の場合について

$x$ を開区間I内の点とする．閉区間 ${\displaystyle \left[a,x\right]}$ において，関数 $f\left(x\right)$ ， $g\left(x\right)$ は連続，開区間 ${\displaystyle \left(a,x\right)}$ において微分可能で， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ であるから，コーシーの平均値の定理を適用すると

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$

を満たす $c$ （ ${\displaystyle a<c<x}$ ）が存在する．なお， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ とロルの定理より ${\displaystyle g\left(x\right)\ne g\left(a\right)}$ であるから，左辺の分母は $0$ にならない．

${\displaystyle f\left(a\right)=0}$ ， ${\displaystyle g\left(a\right)=0}$ より

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$

と変形できる．

${\displaystyle x\to a+0}$ のとき， ${\displaystyle a<c<x}$ より ${\displaystyle c\to a+0}$ となる．したがって， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が存在( $\pm \infty$ でもよい)することから

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{c\to a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

が成り立つ．

● ${\displaystyle x<a}$ の場合について

閉区間 ${\displaystyle \left[x,a\right]}$ において同様にコーシーの平均値の定理を適用すると

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g\left(a\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$

を満たす $c$ （ ${\displaystyle x<c<a}$ ） が存在する． ${\displaystyle f\left(a\right)=0}$ ， ${\displaystyle g\left(a\right)=0}$ より

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$

となる． ${\displaystyle x\to a-0}$ のとき， ${\displaystyle x<c<a}$ より ${\displaystyle c\to a-0}$ となるので

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{c\to a-0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

が成り立つ．

両者を合わせると

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

が成り立つ．

II． ${\displaystyle a}$ を含む開区間I( ${\displaystyle a}$ を除くことも可能である)において，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ が微分可能， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ で， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=0}$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=0}$ ではあるが ${\displaystyle f\left(a\right)=0}$ ， ${\displaystyle g\left(a\right)=0}$ とならず，かつ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ( $\pm \infty$ でもよい)が存在する特殊な場合

以下に示す関数を導入する．

${\displaystyle F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}f\left(x\right)\hfill & x\ne a\hfill \\ 0\hfill & x=a\hfill \end{array}\right.}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}g\left(x\right)\hfill & x\ne a\hfill \\ 0\hfill & x=a\hfill \end{array}\right.}$ ･･････(1)

（ ${\displaystyle F\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)}$ は ${\displaystyle x=a}$ で連続）

証明Iより

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{F^{\prime }\left(x\right)}{G^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(2)

が成り立つ．

● ${\displaystyle x>a}$ の場合について

(1)より

${\displaystyle F\left(x\right)=f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)=g\left(x\right)}$

となり，(2)を(3)のように書き換えることができる.

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(3)

● ${\displaystyle x<a}$ の場合について

(1)より

${\displaystyle F\left(x\right)=f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle G\left(x\right)=g\left(x\right)}$

となり，(2)を(4)のように書き換えることができる.

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(4)

(3)と(4)を合わせると

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

が成り立つ．

III． ${\displaystyle a}$ を含む開区間I( ${\displaystyle a}$ を除くことも可能である)において，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)}$ が微分可能， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)\ne 0}$ で， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\pm \infty }$ ，かつ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が存在する( $\pm \infty$ でもよい)場合

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=\alpha }$ ･･････(5)

とおく．(5)をε-δ論法で言い換えると

「 ${\displaystyle \epsilon >0}$ を任意に1つ選び固定する．この ${\displaystyle \epsilon }$ に対して， ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$ を満たすある正の数 ${\displaystyle \delta }$ が存在する．」　･･････(6)

となる．

● ${\displaystyle a<x<b_1}$ の場合

閉区間 ${\displaystyle \left[x,b_1\right]}$ でコーシーの平均値の定理を適用すると

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(b_1\right)}{g\left(x\right)-g\left(b_1\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c_1\right)}{g^{\prime }\left(c_1\right)}}$ ･･････(7)

を満たす ${\displaystyle c_1\left(x<c_1<b_1\right)}$ が存在する．

${\displaystyle b_1}$ を ${\displaystyle a}$ に近づけていくと， ${\displaystyle c_1}$ も ${\displaystyle a}$ に近づき， ${\displaystyle 0<\left|c_1-a\right|<\delta }$ となる．

このとき，(6)より

${\displaystyle \left|\frac{f^{\prime }\left(c_1\right)}{g^{\prime }\left(c_1\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(8)

が成り立つ．

(7)を以下のように変形する．

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)\left\{1-\frac{f\left(b_1\right)}{f\left(x\right)}\right\}}{g\left(x\right)\left\{1-\frac{g\left(b_1\right)}{g\left(x\right)}\right\}}=\frac{f^{\prime }\left(c_1\right)}{g^{\prime }\left(c_1\right)}}$

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}·\frac{1-\frac{f\left(b_1\right)}{f\left(x\right)}}{1-\frac{g\left(b_1\right)}{g\left(x\right)}}=\frac{f^{\prime }\left(c_1\right)}{g^{\prime }\left(c_1\right)}}$ ･･････(9)

(8)に(9)を代入する．

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}·\frac{1-\frac{f\left(b_1\right)}{f\left(x\right)}}{1-\frac{g\left(b_1\right)}{g\left(x\right)}}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(10)

${\displaystyle b_1}$ を固定し ${\displaystyle x\to a+0}$ の極限をとる．

${\displaystyle x\to a+0}$ のとき， ${\displaystyle f\left(x\right)\to \pm \infty }$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)\to \pm \infty }$ ， ${\displaystyle f\left(b_1\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(b_1\right)}$ は有限の値なので， ${\displaystyle \frac{f\left(b_1\right)}{f\left(x\right)}\to 0}$ ， ${\displaystyle \frac{g\left(b_1\right)}{g\left(x\right)}\to 0}$ となり，(10)は

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$

となる．よって

${\displaystyle x\to a+0}$ のとき， ${\displaystyle 0<\left|c_1-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(11)

が成り立つ．

${\displaystyle a<x<c_1<b_1}$ より

${\displaystyle 0<\left|c_1-a\right|<\delta \Rightarrow 0<\left|x-a\right|<\delta }$

したがって

${\displaystyle x\to a+0}$ のとき， ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=\alpha }$ のとき， ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\alpha }$ ･･････(12)

成り立つ

● ${\displaystyle b_2<x<a}$ の場合

閉区間 ${\displaystyle \left[b_2,x\right]}$ でコーシーの平均値の定理を適用すると

${\displaystyle \frac{f\left(b_2\right)-f\left(x\right)}{g\left(b_2\right)-g\left(x\right)}=\frac{f^{\prime }\left(c_2\right)}{g^{\prime }\left(c_2\right)}}$ ･･････(13)

を満たす ${\displaystyle c_2\left(x<c_2<b_2\right)}$ が存在する．

${\displaystyle b_2}$ を ${\displaystyle a}$ に近づけていくと， ${\displaystyle c_2}$ も ${\displaystyle a}$ に近づき， ${\displaystyle 0<\left|c_2-a\right|<\delta }$ となる．

このとき，(6)より

${\displaystyle \left|\frac{f^{\prime }\left(c_2\right)}{g^{\prime }\left(c_2\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(14)

が成り立つ．

(13)を以下のように変形する．

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)\left\{\frac{f\left(b_2\right)}{f\left(x\right)}-1\right\}}{g\left(x\right)\left\{\frac{g\left(b_2\right)}{g\left(x\right)}-1\right\}}=\frac{f^{\prime }\left(c_2\right)}{g^{\prime }\left(c_2\right)}}$

${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}·\frac{\frac{f\left(b_2\right)}{f\left(x\right)}-1}{\frac{g\left(b_2\right)}{g\left(x\right)}-1}=\frac{f^{\prime }\left(c_2\right)}{g^{\prime }\left(c_2\right)}}$ ･･････(15)

(14)に(15)を代入する．

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}·\frac{\frac{f\left(b_2\right)}{f\left(x\right)}-1}{\frac{g\left(b_2\right)}{g\left(x\right)}-1}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(16)

${\displaystyle b_2}$ を固定し ${\displaystyle x\to a-0}$ の極限をとる．

${\displaystyle x\to a-0}$ のとき， ${\displaystyle f\left(x\right)\to \pm \infty }$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)\to \pm \infty }$ ， ${\displaystyle f\left(b_2\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(b_2\right)}$ は有限の値なので， ${\displaystyle \frac{f\left(b_2\right)}{f\left(x\right)}\to 0}$ ， ${\displaystyle \frac{g\left(b_2\right)}{g\left(x\right)}\to 0}$ となり，(16)は

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$

となる．よって

${\displaystyle x\to a-0}$ のとき， ${\displaystyle 0<\left|c_2-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$ ･･････(17)

が成り立つ．

${\displaystyle b_2<c_2<x<a}$ より

${\displaystyle 0<\left|c_2-a\right|<\delta \Rightarrow 0<\left|x-a\right|<\delta }$

したがって

${\displaystyle x\to a-0}$ のとき， ${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\alpha \right|<\epsilon }$

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=\alpha }$ のとき， ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\alpha }$ ･･････(18)

成り立つ

(12)と(18)を合わせると

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=\alpha }$ のとき， ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\alpha }$

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(19)

が成り立つ．

IV． ${\displaystyle a\to \pm \infty }$ の場合

${\displaystyle t=\frac{1}{x}}$ となる変数 ${\displaystyle t}$ と ${\displaystyle f\left(\frac{1}{t}\right)=H\left(t\right)}$ ， ${\displaystyle g\left(\frac{1}{t}\right)=I\left(t\right)}$ となる関数 ${\displaystyle H\left(t\right)}$ ， ${\displaystyle I\left(t\right)}$ を導入する．

${\displaystyle t\ne 0}$ ， ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ のとき ${\displaystyle t\to \pm 0}$ である．

${\displaystyle H^{\prime }\left(t\right)={\left\{f\left(\frac{1}{t}\right)\right\}}^{\prime }}$ ${\displaystyle =f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\times {\left(\frac{1}{t}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\times \left(-\frac{1}{t^2}\right)}$

${\displaystyle I^{\prime }\left(t\right)={\left\{g\left(\frac{1}{t}\right)\right\}}^{\prime }}$ ${\displaystyle =g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\times {\left(\frac{1}{t}\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle =g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\times \left(-\frac{1}{t^2}\right)}$

より

関数 ${\displaystyle H\left(t\right)}$ ， ${\displaystyle I\left(t\right)}$ は0を除く0の近傍で微分可能で， ${\displaystyle I\left(t\right)\ne 0}$ である．･･････(20)

また

${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H^{\prime }\left(t\right)}{I^{\prime }\left(t\right)}=\underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)}{g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)}}$ ${\displaystyle =\underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)}{g^{\prime }\left(\frac{1}{t}\right)}\underset{x\to \pm \infty }{=\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$

より

${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ が存在すると ${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H^{\prime }\left(t\right)}{I^{\prime }\left(t\right)}}$ も存在する．･･････(21)

● ${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=0}$ ， $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ の時

${\displaystyle x\to \pm \infty }$ のとき， ${\displaystyle t\to \pm 0}$ となることより

${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }H\left(t\right)=0}$ ， ${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }I\left(t\right)=0}$ ･･････(22)

となる．(20)，(21)，(22)より(3)および(4)が適用でき

${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H\left(t\right)}{I\left(t\right)}=\underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H^{\prime }\left(t\right)}{I^{\prime }\left(t\right)}}$

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(23)

が得られる．

● ${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }g\left(x\right)=\pm \infty }$ の時

${\displaystyle x\to \pm \infty }$ のとき， ${\displaystyle t\to \pm 0}$ となることより

${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }H\left(t\right)=\pm \infty }$ ， ${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }I\left(t\right)=\pm \infty }$ ･･････(24)

となる．(20)，(21)，(24)より(12)，(18)が適用でき

${\displaystyle \underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H\left(t\right)}{I\left(t\right)}=\underset{t\to \pm 0}{\lim }\frac{H^{\prime }\left(t\right)}{I^{\prime }\left(t\right)}}$

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}}$ ･･････(25)

が得られる．

　

【参考図書】
微分積分キャンパスゼミ　著者：高杉豊，馬場敬之　出版社：マセマ出版社
Calculus 7E 著者：James Stewart　出版社：Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日： 2026年7月16日