極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+7x}{x^3-2x^2+5}}$

■答

${\displaystyle 0}$

■ヒント

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき，分子 ${\displaystyle \to \infty }$ ，分母 ${\displaystyle \to \infty }$ となり， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の不定形となる．

このような場合，分母あるいは分子の次数の大きい方の最高次数の ${\displaystyle x^3}$ で分母，分子を割るとよい．

関数の極限値の性質も参考にする．

■解き方

分母の最高次数は ${\displaystyle x^3}$ より，分母，分子をその数で割ると

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}{{\displaystyle 1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}}}$

${\displaystyle x\to \infty }$ のとき， ${\displaystyle \frac{1}{x}\to 0}$ ， ${\displaystyle \frac{1}{x^2}\to 0}$ となるので

${\displaystyle =\frac{0+0}{1-0+0}}$

${\displaystyle =0}$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle 0}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年9月1日