ラプラス変換に関する問題

■問題

${\displaystyle f\left(t\right)=tcos\left(\omega t\right)}$  を，裏関数の微分を用いて，ラプラス変換すると  ${\displaystyle \mathcal{L}\left\{tcos\left(\omega t\right)\right\}=\frac{s^2-{\omega }^2}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$  となることを示せ．

■答

線形性より，

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{-tf\left(t\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{tf\left(t\right)\right\}}$${\displaystyle =-\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$

である

また

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{f\left(t\right)\right\}=F\left(s\right)=\mathcal{L}\left\{cos\left(\omega t\right)\right\}}$${\displaystyle =\frac{s}{s^2+{\omega }^2}}$　（ここを参照）

であるから

${\displaystyle \mathcal{L}\left\{tcos\left(\omega t\right)\right\}=\mathcal{L}\left\{tf\left(t\right)\right\}=-\frac{dF\left(s\right)}{ds}}$

${\displaystyle =-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^2+{\omega }^2}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{{\left(s\right)}^{\text{'}}\left(s^2+{\omega }^2\right)-s{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^{\text{'}}}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{1·\left(s^2+{\omega }^2\right)-s·2s}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{s^2+{\omega }^2-2s^2}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{s^2-{\omega }^2}{{\left(s^2+{\omega }^2\right)}^2}}$

　

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　最終更新日： 2023年6月6日