べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{1-2x^2}}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{1-2x^2}}$ とおいて，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{‴}\left(x\right)}$ を計算するのは大変である．よって

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

を利用する．

■答

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式の${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle 2x^2}$ に置き換える

${\displaystyle \frac{1}{1-2x^2}=1+\left(2x^2\right)+{\left(2x^2\right)}^2+{\left(2x^2\right)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1+2x^2+4x^4+8x^6+\cdots }$

■参考

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

${\displaystyle x=2t^2}$を代入する

${\displaystyle \frac{1}{1-2t^2}=1+\left(2t^2\right)+{\left(2t^2\right)}^2+{\left(2t^2\right)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1+2t^2+4t^4+8t^6+\cdots }$

${\displaystyle t}$ を${\displaystyle x}$に書き換えても等式は成り立つ．

${\displaystyle x}$を${\displaystyle 2x^2}$に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである．

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2022年6月2日