べき級数に展開する問題

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

■ヒント

${\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}}$ とおいて，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{″}\left(x\right)}$ ，${\displaystyle f^{‴}\left(x\right)}$ を計算するのは大変である．よって

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

を用いる．

■答

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}}$

${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ のマクローリン展開の公式の${\displaystyle x}$ を ${\displaystyle -x^2}$ に置き換える

${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ ${\displaystyle =1+(-x^2)+{(-x^2)}^2+{(-x^2)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1-x^2+x^4-x^6+\cdots }$

■参考

${\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots }$

${\displaystyle x=-t^2}$ を代入する

${\displaystyle \frac{1}{1-(-t^2)}}$${\displaystyle =1+(-t^2)+{(-t^2)}^2+{(-t^2)}^3+\cdots }$

${\displaystyle =1-t^2+t^4-t^6+\cdots }$

${\displaystyle t}$ を${\displaystyle x}$に書き換えても等式は成り立つ．

${\displaystyle x}$ を${\displaystyle -x^2}$ に置き換えることは上記一連の手続きを短縮したものである．

 

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年6月29日