べき級数に展開する問題

■問題

$\sqrt{1 + x}$

■答

f (x) = \sqrt{1 + x} = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}

とおく．

f (0) = 1^{\frac{1}{2}} = 1

\begin{array}{l} f^{'} (x) = (\frac{1}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + x)}^{'} \\ = (\frac{1}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 \\ = \frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \end{array}

f^{'} (0) = \frac{1}{2}

\begin{array}{l} f^{″} (x) = (\frac{1}{2}) (- \frac{1}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{3}{2}} {(1 + x)}^{'} \\ = (- \frac{1}{4}) {(1 + x)}^{- \frac{3}{2}} \end{array}

f^{″} (0) = - \frac{1}{4}

\begin{array}{l} f^{‴} (x) = (- \frac{1}{4}) (- \frac{3}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{5}{2}} {(1 + x)}^{'} \\ = \frac{3}{8} {(1 + x)}^{- \frac{5}{2}} \end{array}

f^{‴} (0) = \frac{3}{8}

\begin{array}{l} f^{(4)} (x) = (\frac{3}{8}) (- \frac{5}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{7}{2}} {(1 + x)}^{'} \\ = - \frac{15}{16} {(1 + x)}^{- \frac{7}{2}} \end{array}

f^{(4)} (0) = - \frac{15}{16}

\begin{array}{l} f^{(5)} (x) = (- \frac{15}{16}) (- \frac{7}{2}) {(1 + x)}^{- \frac{9}{2}} {(1 + x)}^{'} \\ = \frac{105}{32} {(1 + x)}^{- \frac{9}{2}} \end{array}

f^{(5)} (0) = \frac{105}{32}

したがって，マクローリン展開の公式

$f_{(x)} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2}$ $+ \frac{f^{‴} (0)}{3!} x^{3} + \dots \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \dots \dots$

に代入して

$\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{(- \frac{1}{4})}{2!} x^{2}$ $+ \frac{\frac{3}{8}}{3!} x^{3} + \frac{(- \frac{15}{16})}{4!} x^{4} + \frac{\frac{105}{32}}{5!} x^{5} + \dots$

$= 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \frac{5}{128} x^{4}$ $+ \frac{7}{256} x^{5} + \dots$

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最終更新日： 2025年4月25日