次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．
1 2+x
f( x )= 1 2+x = ( 2+x ) −1 とおく． f( 0 )= 2 −1 = 1 2
f ′ ( x )=( −1 ) ( 2+x ) −2 ( 2+x ) ′ =( −1 ) ( 2+x ) −2 ⋅1 =( −1 ) ( 2+x ) −2 f ' ( 0 )=( −1 )⋅ 2 −2
f ″ ( x )=( −1 )( −2 ) ( 2+x ) −3 ( 2+x ) ′ =( 2! ) ( 2+x ) −3 f '' ( 0 )=( 2! )⋅ 2 −3
f ‴ ( x )=( 2! )( −3 ) ( 2+x ) −4 ( 2+x ) ′ =( −3! ) ( 2+x ) −4 f ''' ( 0 )=( −3! )⋅ 2 −4
f ( 4 ) ( x )=( −3! )( −4 ) ( 2+x ) −5 ( 2+x ) ′ =( 4! ) ( 2+x ) −5 f ( 4 ) ( 0 )=( 4! )⋅ 2 −5
f ( 5 ) ( x )=( 4! )( −5 ) ( 2+x ) −6 ( 2+x ) ′ =( −5! ) ( 2+x ) −6 f ( 5 ) ( 0 )=( −5! )⋅ 2 −6
したがって， マクローリン展開の公式
f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 +⋯⋯+ f ( n ) ( 0 ) n! x n +⋯⋯
に代入して
= 1 2 +(−1)⋅ 2 −2 x+ (2!)⋅ 2 −3 2! x 2 + (−3!)⋅ 2 −4 3! x 3 + (4!)⋅ 2 −5 4! x 4 + (−5!)⋅ 2 −6 5! x 5 +⋯
= 1 2 − 2 −2 ⋅x+ 2 −3 ⋅ x 2 − 2 −4 ⋅ x 3 + 2 −5 ⋅ x 4 − 2 −6 ⋅ x 5 +⋯
= 1 2 − 1 4 x+ 1 8 x 2 − 1 16 x 3 + 1 32 x 4 − 1 64 x 5 +⋯
1 2+x = 1 2( 1+ 1 2 x )
= 1 2 ⋅ 1 1+ 1 2 x
ここで
1 1+x =1−x+ x 2 − x 3 + x 4 − x 5 +⋯
の式の x を 1 2 x に置き換える
1 2+x = 1 2 { 1−( 1 2 x )+ ( 1 2 x ) 2 − ( 1 2 x ) 3 + ( 1 2 x ) 4 − ( 1 2 x ) 5 +⋯ }
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学生スタッフ作成 最終更新日： 2022年6月5日