加法定理の問題

■問題

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$ のとき，次の不等式を解きなさい．

${\displaystyle \cos 2\theta -2\cos \theta \leqq \frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta <{120}^{°}}$，${\displaystyle {240}^{°}<\theta <{360}^{°}}$

■ヒント

2倍角の公式を使い式を用いて与式を${\displaystyle \cos \theta }$ に関する不等式にする.

■解説

不等式を整理すると

${\displaystyle \left(2{cos}^2\theta -1\right)-2cos\theta \leqq \frac{1}{2}}$

${\displaystyle 2\left(2{\cos }^2\theta -1-2\cos \theta \right)\leqq 1}$

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -2-4cos\theta \leqq 1}$

${\displaystyle 4{cos}^2\theta -4cos\theta -3\leqq 0}$

${\displaystyle \left(2cos\theta +1\right)\left(2cos\theta -3\right)\leqq 0}$

${\displaystyle 2cos\theta -3<0}$ であるから，${\displaystyle 2cos\theta +1\geqq 0}$，ゆえに

${\displaystyle cos\theta \geqq -\frac{1}{2}}$

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$ より

${\displaystyle 0^{°}\leqq \theta \leqq {120}^{°}}$ と${\displaystyle {240}^{°}\leqq \theta <{360}^{°}}$

　

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最終更新日： 2024年9月30日