加法定理の問題

■問題

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ ，${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ のとき，${\displaystyle cos2\alpha }$ ，${\displaystyle sin2\alpha }$ ，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}}$の値を求めよ．

■答

${\displaystyle cos2\alpha =-\frac{7}{25}}$，${\displaystyle sin2\alpha =-\frac{24}{25}}$，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=2}$

■ヒント

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{4}{5}}$ を用いて${\displaystyle \cos \alpha }$ を算出する．

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より，${\displaystyle \cos \alpha <0}$，${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ より，${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$となることに注意する．

２倍角の公式と半角の公式を利用する．

■解説

${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ より

${\displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\pm \frac{3}{5}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ から

${\displaystyle cos\alpha =-\frac{3}{5}}$

次に，2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha }$${\displaystyle =1-2{\sin }^2\alpha }$${\displaystyle =1-2{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$${\displaystyle =1-2\times \frac{16}{25}}$${\displaystyle =1-\frac{32}{25}}$${\displaystyle =-\frac{7}{25}}$

${\displaystyle \sin 2\alpha }$${\displaystyle =2\sin \alpha \cos \alpha }$${\displaystyle =2\times \frac{4}{5}\times \left(-\frac{3}{5}\right)}$${\displaystyle =-\frac{24}{25}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より，${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ であるから，${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$である． 半角の公式を用いて

${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{1+\left(-\frac{3}{5}\right)}}}$${\displaystyle =\sqrt{\frac{8}{2}}}$${\displaystyle =2}$

　

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最終更新日： 2023年3月15日