加法定理の問題

■問題

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ ， ${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ のとき， ${\displaystyle cos2\alpha }$ ， ${\displaystyle sin2\alpha }$ ， ${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}}$ の値を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle cos2\alpha =-\frac{7}{25}}$ ， ${\displaystyle sin2\alpha =-\frac{24}{25}}$ ， ${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=2}$

■ヒント

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{4}{5}}$ を用いて ${\displaystyle \cos \alpha }$ を算出する．

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より， ${\displaystyle \cos \alpha <0}$ ， ${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ より， ${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$ となることに注意する．

２倍角の公式と半角の公式を利用する．

■解説

${\displaystyle sin\alpha =\frac{4}{5}}$ より

${\displaystyle cos\alpha =\pm \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\pm \frac{3}{5}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ から

${\displaystyle cos\alpha =-\frac{3}{5}}$

次に，2倍角の公式より

${\displaystyle \cos 2\alpha }$ ${\displaystyle =1-2{\sin }^2\alpha }$ ${\displaystyle =1-2{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$ ${\displaystyle =1-2\times \frac{16}{25}}$ ${\displaystyle =1-\frac{32}{25}}$ ${\displaystyle =-\frac{7}{25}}$

${\displaystyle \sin 2\alpha }$ ${\displaystyle =2\sin \alpha \cos \alpha }$ ${\displaystyle =2\times \frac{4}{5}\times \left(-\frac{3}{5}\right)}$ ${\displaystyle =-\frac{24}{25}}$

${\displaystyle {90}^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より， ${\displaystyle {45}^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ であるから， ${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}>0}$ である． 半角の公式を用いて

${\displaystyle \tan \frac{\alpha }{2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1-\cos \alpha }{2}}{\frac{1+\cos \alpha }{2}}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}{1+\left(-\frac{3}{5}\right)}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{8}{2}}}$ ${\displaystyle =2}$

　

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最終更新日： 2025年4月11日