加法定理の問題

■問題

${\displaystyle 0^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ ,${\displaystyle \cos \alpha =\frac{12}{13}}$ のとき　${\displaystyle 2\alpha }$ ，${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の正弦，余弦，正接の値を求めよ．

■答

${\displaystyle sin2\alpha =\frac{120}{169}}$，${\displaystyle cos2\alpha =\frac{119}{169}}$，${\displaystyle tan2\alpha =\frac{120}{119}}$

${\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{26}}{26}}$，${\displaystyle cos\frac{\alpha }{2}=\frac{5\sqrt{26}}{26}}$，${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{5}}$

■ヒント

${\displaystyle 2\alpha }$ と${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ の値の正負の範囲に注意して２倍角の公式と半角の公式に代入する．

■解説

${\displaystyle 0^{°}<\alpha <{180}^{°}}$ より${\displaystyle sin\alpha >0}$である．よって

${\displaystyle \sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }}$ ${\displaystyle =\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{25}{169}}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{13}}$

${\displaystyle 2\alpha }$ の場合

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{5}{13}\times \frac{12}{13}}$ ${\displaystyle =\frac{120}{169}}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\times {\left(\frac{12}{13}\right)}^2-1}$ ${\displaystyle =\frac{288}{169}-1}$ ${\displaystyle =\frac{119}{169}}$

${\displaystyle tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}}=\frac{120}{119}}$

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$の場合

${\displaystyle 0^{°}<\frac{\alpha }{2}<{90}^{°}}$ より${\displaystyle sin\frac{\alpha }{2}>0}$，${\displaystyle \cos \frac{\alpha }{2}>0}$ である．よって

${\displaystyle \sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{12}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{26}}}$ ${\displaystyle =\frac{\sqrt{26}}{26}}$

${\displaystyle \cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{12}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{\frac{25}{26}}}$ ${\displaystyle =\frac{5\sqrt{26}}{26}}$

${\displaystyle tan\frac{\alpha }{2}=\frac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{\sqrt{26}}{26}}{\frac{5\sqrt{26}}{26}}=\frac{1}{5}}$

　

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最終更新日： 2023年3月15日