三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle 2cos\frac{1}{3}\theta =\sqrt{2}}$　${\displaystyle \left[\frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi \right]}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle \frac{1}{3}\theta =\alpha }$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle 2\cos \alpha =\sqrt{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \frac{1}{3}\theta <\frac{\pi }{3}}$

よって，${\displaystyle \alpha }$の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \alpha <\frac{\pi }{3}}$　･･････(3)

となる．

(2)を満たす${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の${\displaystyle {\alpha }_1}$ ，${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{\pi }{4},{\alpha }_2=\frac{7}{4}\pi }$

(3)より${\displaystyle {\alpha }_2}$は範囲外であり，${\displaystyle \theta =3\alpha }$なので，求める角${\displaystyle \theta }$は

${\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi }$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>問題演習>>三角関数の方程式に関する問題

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年9月3日