三角関数の方程式に関する問題

■問題

[　]内に示す範囲で，以下に示す方程式を解け．

${\displaystyle 2cos\frac{1}{3}\theta =\sqrt{2}}$ ${\displaystyle \left[\frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi \right]}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi }$

■ヒント

${\displaystyle \frac{1}{3}\theta }$ を ${\displaystyle \alpha }$ と置き換えて計算を行う．

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle \frac{1}{3}\theta =\alpha }$ ･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle 2\cos \alpha =\sqrt{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ･･････(2)

となる．

(1)の関係と ${\displaystyle \theta }$ の範囲から， ${\displaystyle \alpha }$ の範囲を求める．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta <\pi }$

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \frac{1}{3}\theta <\frac{\pi }{3}}$

よって， ${\displaystyle \alpha }$ の範囲は

${\displaystyle \frac{\pi }{6}\leqq \alpha <\frac{\pi }{3}}$ ･･････(3)

となる．

(2)を満たす ${\displaystyle \alpha }$ を求める(図の ${\displaystyle {\alpha }_1}$ ， ${\displaystyle {\alpha }_2}$ の値)．

以下の問題を参考にする.

${\displaystyle {\alpha }_1=\frac{\pi }{4},{\alpha }_2=\frac{7}{4}\pi }$

(3)より ${\displaystyle {\alpha }_2}$ は範囲外であり， ${\displaystyle \theta =3\alpha }$ なので，求める角 ${\displaystyle \theta }$ は

${\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi }$

となる．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年2月12日