三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$   とする．

${\displaystyle cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$   の値は 単位円 上の点の ${\displaystyle x}$   座標に相当する( ここ を参照)．

まず，右図のように 単位円 を描く．このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle y}$軸と平行な線である ${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$ と線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ から${\displaystyle y}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$より，基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}=\frac{1}{4}\pi }$

となる．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\angle \text{POR}=\frac{1}{4}\pi }$

よって，${\displaystyle {\theta }_1}$，${\displaystyle {\theta }_2}$を算出すと

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{4}\pi }$，${\displaystyle {\theta }_2=\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{4}\pi =\frac{7}{4}\pi }$  

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日