三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式の最大値と最小値を求めよ． ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{3}\pi }$ とする．

${\displaystyle y=\sin \left(\theta +\frac{1}{6}\pi \right)}$

■答

${\displaystyle \theta =0}$ のとき最小値 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}\pi }$ のとき最大値 ${\displaystyle 1}$

■ヒント

${\displaystyle \theta +\frac{1}{6}\pi }$を${\displaystyle t}$ と置き換えて計算を行う．

■解説

${\displaystyle \theta +\frac{1}{6}\pi =t}$　･･････(1)

とおくと，与式は

${\displaystyle y=sint}$　･･････(2)

となる．

(1)の関係と${\displaystyle \theta }$ の範囲から，${\displaystyle t}$ の範囲を求める．

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{3}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq \theta +\frac{1}{6}\pi \leqq \frac{1}{3}\pi +\frac{1}{6}\pi }$

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi \leqq t\leqq \frac{1}{2}\pi }$　･･････(3)

${\displaystyle sint}$は単位円上の点の ${\displaystyle y}$ 成分に相当するので図より，${\displaystyle y=sint}$は(3)の範囲において

${\displaystyle t=\frac{1}{6}\pi }$  のとき最小

${\displaystyle t=\frac{1}{2}\pi }$  のとき最大

となる．(1)の関係と${\displaystyle t}$ の値から対応する${\displaystyle \theta }$ の値を求めて上記を書き換えると

${\displaystyle y=\sin \left(\theta +\frac{1}{6}\pi \right)}$は${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{1}{3}\pi }$において

${\displaystyle \theta +\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{6}\pi }$ ⇒ ${\displaystyle \theta =0}$のとき最小

${\displaystyle (\theta +\frac{1}{6}\pi )=\frac{1}{2}\pi }$⇒${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}\pi }$ のとき最大

以上より，${\displaystyle y=\sin \left(\theta +\frac{1}{6}\pi \right)}$の

最小値は${\displaystyle \theta =0}$のとき ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

最大値は${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}\pi }$のとき ${\displaystyle 1}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日