不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int 2x{e}^{2x}dx}$ 　　

■答

${\displaystyle x{e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

部分積分法 より

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \int 2x{e}^{2x}dx=\int 2x{\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }dx}$　と見て部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int 2x{\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }dx}$ 　　

${\displaystyle =2x·\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)-\int {\left(2x\right)}^{\prime }·\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)dx}$ 　　

（方針の公式にあてはめる）

${\displaystyle =x{e}^{2x}-\int 2·\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)dx}$ 　　

（${\displaystyle {\left(2x\right)}^{\prime }}$ が ${\displaystyle 2}$ になるのは， 微分 ${\displaystyle x^{\alpha }}$ を参照）

${\displaystyle =x{e}^{2x}-\int e^{2x}dx}$ 　　

${\displaystyle =x{e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+C}$ 　　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x{e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle 2x{e}^{2x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日