不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int x\sqrt{x+1}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{2}{15}\left(3x-2\right)\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+C}$　　（$C$は積分定数）

■解説

${\displaystyle x+1=t}$ とおく(置換積分)．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t-1}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(t-1\right)\sqrt{t}dt}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(t^{\frac{3}{2}}-t^{\frac{1}{2}}\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}{t}^{\frac{3}{2}}\left(3t-5\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\left(3x-2\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{2}{15}\left(3x-2\right)\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+C}$

（${\displaystyle C}$ は積分定数）

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日