不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4}{\sqrt{x}}}dx}$  

■答

${\displaystyle 8\sqrt{x}+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4}{\sqrt{x}}}dx}$

(1)を用いて

${\displaystyle =4{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$ 　　

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ を 基本となる関数の積分を用いることのできる形に変形すると

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}={\sqrt{x}}^{-1}=x^{-\frac{1}{2}}}$ 　　

となる．よって

${\displaystyle =4{\displaystyle \int x^{-\frac{1}{2}}}dx}$ 　

(2)を用いて積分すると

${\displaystyle =4·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}{x}^{-\frac{1}{2}+1}+C}$

${\displaystyle =4·\frac{1}{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle =8\sqrt{x}+C}$　　（$C$は積分定数）

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>>${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4}{\sqrt{x}}}dx}$

最終更新日： 2024年1月21日