不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-2x}dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

指数/対数の積分 より

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}}$ ･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

置換積分を用いる

${\displaystyle -2x=t}$ と置く（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2}$ →　 ${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$

よって

与式 ${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t}\times \left(-\frac{1}{2}dt\right)}$

( ${\displaystyle -2x=t}$ ， ${\displaystyle dx=-\frac{1}{2}dt}$ を代入)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{\displaystyle \int e^{t}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\times e^t+C}$ （ $C$ は積分定数）

( 指数/対数の積分 を参照)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$

( ${\displaystyle -2x=t}$ を元に戻す)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle -\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle e^{-2x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2025年7月23日