不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(5x-3\right)}\left(2x+2\right)dx}$

■答

${\displaystyle 4x^3+2x^2+6x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

以下に示す公式を適用できるように被積分関数を展開する．

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(5x-3\right)}\left(2x+2\right)dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(10x^2+4x-6\right)dx}}$

ヒントの(1)を適用する

${\displaystyle =\frac{10}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{4}{1+1}{x}^{1+1}}$${\displaystyle +6x+C}$　　（$C$は積分定数）

${\displaystyle =4x^3+2x^2+6x+C}$　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle 4x^3+2x^2+6x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \left(5x-3\right)\left(2x+2\right)}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日