不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．ただし，$a$ ，$b$ ，$c$ は定数である

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(a{x}^3-b{x}^2+c\right)dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{a}{4}{x}^4-\frac{b}{3}{x}^3+cx+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(a{x}^3-b{x}^2+c\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{a}{3+1}{x}^{3+1}-\frac{b}{2+1}{x}^{2+1}+cx+C}$

(ヒントの式(1)を参照)

${\displaystyle =\frac{a}{4}{x}^4-\frac{b}{3}{x}^3+cx+C}$ 　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{a}{4}{x}^4-\frac{b}{3}{x}^3+cx+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle a{x}^3-b{x}^2+c}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日