不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$$ {\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4x^5-2x^4+x^3}{x}}dx}$$

■答

${\displaystyle \frac{4}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{4x^5-2x^4+x^3}{x}dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(4x^4-2x^3+x^2\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4+1}\cdot 4x^{4+1}-\frac{1}{3+1}\cdot 2x^{3+1}}$${\displaystyle +\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C}$

(ヒントの公式(1)を参照)

${\displaystyle =\frac{4}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{4}{5}{x}^5-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{4x^5-2x^4+x^3}{x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日