不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x^2-81}{x+9}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2-9x+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x^2-81}{x+9}dx}}$

${\displaystyle \frac{x^2-81}{x+9}=\frac{\left(x+9\right)\left(x-9\right)}{x+9}}$${\displaystyle =x-9}$ より

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(x-9\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1+1}{x}^{1+1}-9x+C}$　（$C$は積分定数）

(ヒントの公式(1)を参照 )

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2-9x+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2-9x+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{x^2-81}{x+9}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年10月7日