円錐の重心の計算

■問題

図のような底面の半径が ${\displaystyle R}$ ，高さが ${\displaystyle H}$ の円錐の重心を求めよ．

■答

円錐の底面より高さ ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置

■ヒント

回転体の重心を参考にする．

■解説

図のように円錐の対称軸が$x$ 軸と重なるようにし，円錐の頂点を原点とする．

$x$ 軸の位置$x$ における${\displaystyle x}$軸に垂直で厚さが微小な${\displaystyle dx}$，半径が$r$ の円板の体積${\displaystyle dV}$は

${\displaystyle dV=\pi r^{2}dx}$　･･････(1)

となる．また， ${\displaystyle \begin{array}{ccc}r:R& =& x:H\end{array}}$ より

${\displaystyle r=\frac{R}{H}x}$　･･････(2)

となる．よって，(2)を(1)に代入すると

${\displaystyle dV=\pi r^{2}dx=\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^{2}dx\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}& \end{array}& & & \end{array}}$ 　

となる．重心は ${\displaystyle x}$ 軸上にあるので，重心の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_G}$ とすると

${\displaystyle x_G=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}x}dV}{{\displaystyle {\int }_0^H}dV}}$ ${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}x\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^2}dx}{{\displaystyle {\int }_0^H\pi \frac{R^2}{H^2}{x}^2}dx}}$${\displaystyle =\frac{\pi {\displaystyle \frac{R^2}{H^2}}{\displaystyle {\int }_0^H{x}^3}dx}{\pi {\displaystyle \frac{R^2}{H^2}}{\displaystyle {\int }_0^H{x}^2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^3}dx}{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{{\displaystyle \left[\frac{x^4}{4}\right]}}_0^H}{{{\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}\right]}}_0^H}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{H^4}{4}-0}}{{\displaystyle \frac{H^3}{3}-0}}}$${\displaystyle =\frac{3}{4}H}$ 　

となる．

よって，重心の位置は，円錐の底面より高さ ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置にある．

　

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最終更新日： 2023年11月23日